Pour écrire le résultat d'un calcul, d'une mesure on se sert d'un nombre et d'une unités. Si l'un de ces deux éléments est faux, le résultat est faux.

A : LES INCERTITUDES.

Mesurer une grandeur, c'est la comparer à une autre grandeur du même type prise pour unité.

Les mesures directes sont celles obtenues directement en utilisant un appareil. Les mesures obtenues à l'aide d'une formule, donc d'un calcul, sont appelées mesures indirectes.

Soit à mesurer une certaine grandeur A. Le nombre trouvé est x, mais ce n'est en général pas la véritable valeur X . x est une valeur approchée de X.

La valeur maximale de l'erreur que l'on peut faire dans la mesure est D x, appelée incertitude absolue. Cette incertitude est due à la qualité des instruments, à leur réglage (zéro), au soin apporté à la lecture par l'opérateur, etc..

On peut donc écrire:

X = x ± Dx    ou    x - Dx £ X £ x + Dx

Exemple : on mesure une longueur avec une règle graduée en mm. On trouve 29,7 cm ou 297 mm.
On peut écrire l = 297 ± 1 mm. Il est absurde d'écrire 297, 2 ± 1 mm.

Si on mesure une deuxième longueur avec la même règle : l' = 23 ± 1 mm.

On appelle incertitude relative le rapport Dx/x. C'est un nombre sans dimension puisque c'est le rapport entre deux grandeurs identiques.

Exercice : calculer les incertitudes relatives des deux mesures précédentes.

B : CALCULS D'INCERTITUDES

Les incertitudes sur les mesures se répercutent sur le résultat.

Si le calcul est une somme (ou une différence), on a les formulres :

S = a + b        DS = Da + Db

D = a - b        DD = Da + Db

Exemple : on a mesuré deux longueurs, 29,7 cm et 13,2 cm à 1 mm près.
Incertitude sur la somme et la différence.

Si le calcul est un produit (ou un quotient) : g = kx + jy + lz

D g =

Exemple : calculer le volume d'un cylindre de hauteur h = 29,7 mm et de diamètre d = 25,2 mm.

V_min = 14,646337 mm ; V_max = 14,98122 mm ; V = 14,81315 mm.

Le premier chiffre après la virgule est différent, il est incertain, l'incertitude porte sur lui donc les chiffres suivants n'ont aucune signification.

14,6 cm³ £ V £ 15,0 cm³

Donc DV = 0,2 cm³ (0,167).

On peut aussi passer par la différentielle logarithmique :

On trouve DV/V = 0,0113035 et DV = 0,1655 cm³.

Quand g est de la forme g = k.x^a.y^b.z^c, on a :

C : CHIFFRES SIGNIFICATIFS

Un chiffre significatif est un chiffre nécessaire pour exprimer la valeur d'une grandeur mais aussi sa précision.

Un chiffre est significatif quand :

- il est différent de zéro

- c'est un zéro compris entre deux chiffres significatifs (2032)

- c'est un zéro final non nécessaire (2,310)

Un zéro n'est pas significatif quand il est devant.
Exemples :  
0124 : 3 chiffres significatifs
 0,023 : 2 chiffres significatifs car 2,3 cm ou 0,023 m doivent être deux résultats équivalents 
donc les zéros devant, qu'il y est virgule ou pas, ne comptent pas, ils ne sont pas significatifs.

Quand le zéro est à la fin, cela dépend.
29,0 cm et 29 cm expriment la même valeur mais pas la même précision : dans le premier cas, il y a 3 chiffres significatifs (la précision est le mm), dans le second, il y a 2 chiffres significatifs( la précision est le cm).
290 mm : on ne sait pas si le zéro est significatif ou pas (précision de la mesure). 
Donc un zéro est ambigu quand il se trouve à la fin et est nécessaire (290) pour exprimer la valeur. Pour remédier à cela, on utilise la notation scientifique (2,9.10² pour 2 chiffres significatifs ou 2,90.10² pour 3 chiffres significatifs).

Dans un problème, il faut exprimer les résultats avec le même nombre de chiffres significatifs que la donnée qui en comporte le moins, mais jamais moins de deux. En général c'est deux ou trois.

Si on arrondit par défaut ou par excès : il faut pousser le calcul à un chiffre de plus que celui du résultat.

Exemple : 
le volume d'une sphère est de 14,5 cm³. Trouver son rayon.

Le résultat donné par la calculatrice est : R = 1,5127243 cm
La précision de la donnée est le dixième de cm³ donc le volume est compris entre 14,4 cm³ et 14,6 cm³.
Avec R = 1,52 cm, on trouve V = 14,71 cm³ donc un résultat en dehors de la fourchette.
Avec R = 1,51 cm, on trouve V = 14,42 cm³ donc un résultat dans la fourchette
Avec R = 1,50 cm, on trouve V = 14,1 cm³ donc un résultat en dehors de la fourchette.
On voit donc bien que la précision de la donnée étant de 3 chiffres, il est suffisant d'exprimer le résultat avec 3 chiffres aussi, en arrondissant par excès ou par défaut.

On est dans le domaine de la statistique.

A : VALEUR PROBABLE

On appelle moyenne , où valeur probable, d'une grandeur la moyenne arithmétique de toutes les mesures effectuées, c'est-à-dire la somme de toutes les mesures divisée par le nombre de mesures.

Cette valeur sera d'autant plus proche de la vraie valeur X que n, le nombre de mesures, sera grand. Pour n = ¥ , on a X = .

Exemples :  
Pour le volume du cylindre, on a trouvé :

15,0 ; 14,7 ; 14,5 ; 14,9 ; 14,8 ; 14,8 ; 14,6 ; 14,8 ; 14,7 ; 14,9 ; 17,1.

17,1 est écartée car manifestement fausse.

V = = 14,78 cm³.

Pour trouver l'incertitude absolue on prendra l'écart entre cette moyenne et les valeurs extrêmes.

C'est-à-dire ici 0,2 cm³ car on a 15 et 14,6 qui encadre 14,8 cm³.

V = 14,8 ± 0,2 cm³

B : RÉPARTITION DES VALEURS

Pour nous renseigner sur la qualité des mesures, on se sert de ce qu'on appelle la variance que l'on note s².

La racine carrée de s s'appelle l'écart type ou écart quadratique moyen. Si n est supérieur à 30, on a :

Si n est plus petit que 30, ce qui est souvent le cas en physique, il faut alors estimer l'écart-type par une grandeur s ou s _n-1 qui vaut :

La qualité d'une méthode de mesurage s'apprécie par son écart type. Cette valeur joue le même rôle que l'incertitude absolue lors d'une seule mesure, la quantité s / jouant le rôle de l'incertitude relative.

C : TOLÉRANCE

Il est intéressant de savoir la probabilité qu'a une mesure de se trouver à un certain écart de la valeur moyenne . Cet écart s'appelle l'intervalle de confiance relatif à un niveau de confiance donné.

L'intervalle de confiance est, si la grandeur obéit à la loi normale :

Les valeurs du coefficient t, coefficient de Student, dépendent du niveau de confiance choisi, ainsi que du nombre n. Elles sont données par des tables.

L'incertitude absolue D x est égale à :

 

Si n est inférieur à 15, on utilise une méthode plus rapide : la méthode de l'étendue.

L'étendue r est la différence entre les valeurs extrêmes x_min et x_max. L'intervalle de confiance est alors égal à :

-q.r £ X £ +q.r

q est un coefficient dépendant de n et du niveau de confiance choisi. On obtient des intervalles de confiance légèrement plus larges que dans la méthode précédente.

A : Constitution d'un système d'unités.

L'établissement d'un système d'unités repose sur le choix arbitraire d'un certain nombre d'unités, appelées les unités fondamentales ou de base. Il faut qu'elles soient indépendantes, les moins nombreuses possibles et qu'elles puissent avoir une représentation physique facile. A partir d'elles, on définit les autres unités, appelées unités dérivées.

Le système international repose sur sept unités de base: le mètre pour la longueur, le kilogramme pour la masse, la seconde pour le temps, l'ampère pour l'intensité de courant, le kelvin pour la température, la candela pour l'intensité lumineuse, la mole pour la quantité de matière.

B : Les unités dérivées

Deux unités sont ajoutées aux unités fondamentales, ce sont les unités d'angles, le radian et le stéradian.

Les unités dérivées sont exprimées en fonction des unités de base. Certaines ont reçu des noms particuliers, souvent de scientifiques ayant travaillé dans les domaines concernés. Leur symbole est alors une lettre majuscule.

Certaines unités, fréquemment utilisées, ont été maintenues pour des raisons de commodité. Ce sont :

La minute, l'heure et le jour pour le temps ; le degré, la minute et la seconde pour l'angle plan ; le litre pour le volume ; la tonne pour la masse ; le bar pour la pression ; le degré celsius pour la température ; le watt-heure pour l'énergie ; la calorie pour l'énergie thermique.

C : Tableau des unités

D : MULTIPLES ET SOUS-MULTIPLES

Une force F s'exprime en newtons. Si on revient au trois unités de base du système SI (masse, longueur, temps) la force F, d'après la formule F = m.a est égale à une masse multipliée par une longueur divisée par un temps au carré :

On dit que les dimensions de la force sont 1 par rapport à la masse, 1 par rapport à la longueur et -2 par rapport au temps. On écrit symboliquement F = MLT^-2.

Pour une relation il faudra toujours que son premier membre ait les mêmes dimensions que le second : on dira qu'elle est homogène.

Pour les unités, on peut dire que le newton est équivalent au kg.m.s^-2 dans le système SI.

Dans un problème, avant de trouver le résultat avec des nombres (application numérique) il faut le trouver avec des lettres représentant les différentes grandeurs (expression littérale). On peut alors vérifier si l'expression trouvée est homogène, c'est-à-dire si les deux membres ont les mêmes dimensions. Ceci permet de savoir si la formule trouvée est possible ou non, ou bien de trouver l'unité d'une grandeur si on connaît celles des autres.

EXERCICES

I : Un rectangle mesure 27 m de longueur et 14,5 m de largeur. Les mesures étant faites à 0,5 m près, calculer la plus grande valeur (valeur par excès) et la plus petite (valeur par défaut) de l'aire de ce rectangle. Quelle est l'incertitude absolue ? Donner le résultat.

II : Une sphère creuse a pour rayon extérieur 15 cm ; la cavité est une sphère de 5 cm de rayon.

a) Quel est le volume de la partie pleine ?

b) La précision des mesures étant de 1 mm, trouver l'incertitude du résultat.

III : On mesure le volume d'un morceau de fer parallélépipédique de trois façons.

a) On le mesure avec une règle graduée au mm. On peut apprécier la demi division. On trouve L = 2,6 cm, l = 1,25 cm et h = 5,45 cm.

Trouver son volume, ainsi que les incertitudes absolue et relative.

b) On se sert d'un pied à coulisse de précision 1/10 de mm. On trouve L = 2,62 cm, l = 1,24 cm et h = 5,46 cm.

Mêmes questions.

c) On se sert maintenant d'une éprouvette. Une division correspond à 1 cm³. On apprécie la demi-division. On trouve, par déplacement d'eau, un volume de 17,5 cm³.

Mêmes questions.

d) Quelle est la meilleure méthode ?

IV : On mesure un temps et on trouve:

3,56 s ;3,58 s ;3,57 s ;3,52 s ;3,54 s ;3,56 s ;3,57 s ;

3,53 s ;3,56 s ;3,56 s ;3,57 s ;3,59 s ;3,54 s ;3,56 s.

a) Classer les valeurs trouvées par ordre croissant et donner pour chaque résultat le nombre n de fois où il a été trouvé (fréquence).

b) Calculer la valeur moyenne T de la durée et l'étendue r des résultats.

c) Calculer l'intervalle de temps dans lequel la vraie valeur T à 95 % de chance de se trouver en utilisant la méthode de l'étendue.

Valeur de q pour 14 mesures et pour un taux de confiance de 95 % : 0,17.

e) Trouver l'écart type s . Trouver l'intervalle de confiance pour un niveau de confiance de 95 %.

Valeur du coefficient t pour 14 mesures et un niveau de confiance de 95 % : 2,16.

V : La relation qui donne la période T d'un pendule de torsion dont la constante de torsion est C est :

J étant son moment d'inertie et C la constante de torsion du fil.

a) Trouver T si J = 0,10 kg.m², C = 0,107.10^-2 m.N.rd^-1.

b) Sachant que l'erreur commise sur J est de 0,01 kg.m², trouver celle sur T.

VI : Pour mesurer l'épaisseur d'un cylindre creux on mesure les diamètres intérieurs (D ) et extérieur (D ) et on trouve :

D1 = 19,5 ± 0,1 mm et D2 = 26,7 ± 0,1 mm

Donner le résultat de la mesure et sa précision.

VII : Calculer l'aire d'un cercle dont le rayon vaut R = 5,21 ± 0,01 cm

Quelle est la précision du résultat obtenu ?

VIII : Trouver la dimension et l'unité du facteur k, la constante de gravitation universelle qui entre dans la formule :

F est la force qui s'exerce entre deux masses m et m' distantes de d.

IX : Montrer que la relation 
 
est possible. m: masse, v: vitesse, q: charge électrique, U: tension.

X : Quelle est la grandeur égale à r .g.h avec r : masse volumique ; g : accélération de la pesanteur ; h : hauteur.

XI : L'ascension capillaire h, dans un tube de rayon r, d'un liquide de masse volumique r , de constante capillaire A, en un lieu où l'accélération de la pesanteur est g, a pour expression :

Trouve les dimensions et l'unité de la constante A.

XII : La formule P - P' = 4A/R donne la différence de pression P - P' entre l'intérieur et l'extérieur d'une bulle de savon de rayon R. A est la constante capillaire dont on a déterminé les dimensions dans l'exercice XI. Vérifier l'homogénéité de cette formule.

Correction des exercices

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