A un instant t, les particules du liquide comprises entre deux sections de la canalisation ont chacune une certaine vitesse. A un autre instant, ces particules ne sont plus aux mêmes points mais elles sont remplacées par d'autres qui ont les mêmes vitesses : on a un écoulement permanent.

Dans tout ce qui suit nous étudierons uniquement des écoulements permanents.

Un fluide parfait est un fluide où les forces de cohésion entre particules sont nulles. Cette absence de cohésion entraîne une absence de frottement entre les particules : le liquide n'est pas visqueux.

Soit une conduite de section constante S et une section MN dans laquelle les particules qui la traversent ont même vitesse c. En une seconde , les particules sont arrivées en OP après avoir parcouru la distance c. Le volume compris entre les deux sections est égal à celui du fluide qui a traversé en une seconde la section MN : on l'appelle le débit en volume qv :

q_v = S.c

S : section de la conduite, en m². c : vitesse d'écoulement du fluide, en m.s^-1. q_v en m³.s^-1.

Si nous voulons trouver la masse de liquide qui s'est déplacé, c'est-à-dire trouver le débit massique q_m, il faut multiplier le débit volumique par la masse volumique du liquide :

q_m = r .S.c

Supposons maintenant que la section du conduit est variable. L'écoulement étant permanent, pendant un certain temps le même volume, la même masse de liquide, a traversé une section quelconque du conduit. On peut donc écrire:

q_v = S₁.c₁ = S₂.c₂

q_m = r .S₁.c₁ = r .S₂.c₂

S1 : section de la conduite, en m² , en un point de la conduite. c₁ : vitesse d'écoulement du fluide, en m.s^-1, en ce même point. S₂ et c₂ étant les mêmes grandeurs en un autre point.

L'équation de continuité, pour un liquide incompressible et pour un écoulement permanent, s'écrit donc :

S₁.c₁ = S₂.c₂

Exercice : Sur un nettoyeur haute pression est marqué 120 bars, 8,4 l/min. Quelle doit être la section à la sortie pour que la vitesse de l'eau soit de 140 m/s ?

Quelle est la vitesse de l'eau dans le tuyau, sachant que sa section a un diamètre de 1,2 cm ?

Le système étudié est 1 kg de liquide qui passe du point 1 au point 2, à travers les sections S₁ et S₂. Sa vitesse est c₁ dans S₁ et c₂ dans S₂. Les forces qui s'exercent aux points 1 et 2 sont les forces de pression et le poids.

L'équation de Bernoulli s'écrit :

ou :

- Le premier terme exprime l'énergie potentielle de pression d'un kilogramme de liquide.
- Le deuxième terme exprime l'énergie cinétique d'un kilogramme de liquide.
- Le troisième terme exprime l'énergie potentielle de pesanteur d'un kilogramme de liquide.

Le théorème de Bernoulli exprime alors la conservation de l'énergie que possède le fluide au point 1 et au point 2.

On peut aussi écrire :

le premier terme s'appelle l'invariant de Bernoulli.

Une troisième forme d'écriture est :

p est la pression statique, rc²/2 est la pression dynamique et rgz est la pression due à l'altitude.

Un Venturi est un étranglement du conduit, limité par les sections S₁ et S₂ où les pressions sont respectivement p₁ et p₂. Un tel appareil permet de mesurer le débit volumique d'un fluide.

Les tubes verticaux sont des prises de pression statique.

Ici z₁ = z₂. L'équation de continuité permet d'écrire :

L'équation de Bernoulli nous donne :

S₁ et S₂ sont connues (caractéristiques du Venturi), p₁ et p₂ sont données par les hauteurs de liquide dans les tubes verticaux, on trouve donc c₁.

Un tube de Pitot permet de déterminer la vitesse d'un fluide. Il est formé de deux tubes disposés comme le montre le dessin ci-contre. L'entrée du tube A est disposée de telle façon que le vecteur vitesse à mesurer soit perpendiculaire à sa section 2. Le liquide monte jusqu'en 3 et s'immobilise. Entre les points 1 et 2 du fluide, on a c₁ = vitesse à mesurer, c₂ = 0, z₁ = z₂.

L'équation de Bernoulli nous donne :

L'équation fondamentale de l'hydrostatique permet d'écrire pour le liquide immobile entre 2 et 3, p₂ étant la pression totale :

p₂ = p₀ + r .g(z₃ - z₂)

Dans le canal B, le liquide est immobile. On a p₅ = p₀ et z₄ = z_2. On peut donc écrire :

Soustrayons les deux dernières relations :

avec H = z₃ - z₅

Comme p₁ = p₄ (pressions statiques), (1) et (2) nous donnent:

L'action de la pesanteur est négligeable, l'équation de Bernoulli nous donne :

Pour un gaz, r est faible, donc la vitesse du gaz est élevée.

Au milieu de la conduite on place un appareil hydraulique, par exemple une turbine ou une pompe. On a un travail W supplémentaire dû à cet appareil. Ce travail sera positif si le fluide le reçoit (pompe), négatif s'il le cède (turbine). L'équation de Bernoulli s'écrit :

Si P est la puissance de l'appareil et si q_m est le débit massique, on a la relation :

P = W.q_m

La puissance est le débit d'énergie.

 

I : Soit un tube de venturi incorporé dans une conduite. Les sections du venturi sont S₁ à l'entrée et S₂ à la sortie.
Sachant que la perte de charge est négligeable, que le venturi mesure une différence de pression de 
1,200.10⁴ Pa, que S₁ = 100,5 cm² et S₂ = 50,25 cm², calculer le débit.

II : Le temps de remplissage d'un récipient de volume V = 10 dm³ est de 20 s. L'eau sort d'un robinet de diamètre 15 mm.
Quelle est la vitesse de l'eau dans la section de sortie du robinet ?

III : Une conduite d'eau va d'un point 1 à un point 2.
Etat initial au point 1: pression p₁ = 15.10⁴ Pa ; vitesse c₁ = 8 m.s^-1 ; hauteur z₁ = 12 m.
Etat final au point 2 : pression p₂ = 10.10⁴ Pa ; hauteur z₂ = 2 m.

a) Quelle est la vitesse c₂ ?

b) Sachant que le débit en volume est q = 6 dm³.s^-1, calculer les diamètres d₁ et d₂ de la conduite.

IV : Une pompe aspire l'eau d'un puits. La pression de l'eau dans la conduite au niveau de la pompe installée à la sortie du puits doit être au moins égale à 4.10⁴ Pa. La vitesse de l'eau dans la conduite est de 3 m.s^-1.

Déterminer la différence d'altitude de l'eau dans le puits et de l'eau à l'entrée de la pompe.

V :

Le schéma représente un barrage alimentant une turbine hydraulique au moyen d'une conduite forcée.

a) Calculer la vitesse c₂ du jet.

b) Quel est le débit en volume de l'eau, sachant que le diamètre de sortie de la tuyère est de 50 mm ?

VI :

On appelle hauteur géométrique de chute H_g la différence d'altitude z₁ - z₅.

a) Calculez le travail échangé par 1 kg d'eau quand il passe de 1 à 5 avec l'extérieur.

b) Si le débit de l'eau traversant la turbine est q_v = 1 m³.s^-1, trouver la puissance recueillie sur l'arbre.

c) Trouver le travail produit par la turbine.

VII : Dans un réservoir de grand volume se trouve de l'huile et de l'air sous la pression p = 10⁶ Pa. L'huile peut s'échapper dans l'atmosphère par un trou de diamètre 6 mm.

Quelle est la vitesse de l'huile à la sortie du réservoir ? On considèrera que la différence d'altitude est négligeable.

Sachant que la masse volumique de l'huile est 860 kg.m^-3, quel est le débit massique ?

VIII : Vidange partielle d'un liquide surmonté d'air comprimé.

Un grand réservoir cylindrique fermé, de hauteur H = 2,5 m, contient initialement de l'eau de masse volumique r = 10³ kg.m^-3 sur une hauteur h₀ = 1,80 m surmonté d'air à la pression initiale 1,1.10⁵ Pa.

On perce la surface latérale du réservoir d'un petit orifice circulaire de rayon r << R et situé à la distance y = 0,40 m du fond du réservoir.

On donne : champ de pesanteur g = 10 m.s^-2.

1) Calculer la vitesse v₀ d'éjection initiale de l'eau par l'orifice.

2) Pendant l'écoulement de l'eau, l'air au-dessus de l'eau se détend. Calculer la vitesse d'éjection v₁ de l'eau lorsque la surpression de l'air par rapport à P₀, pression atmosphérique normale, est réduite de moitié.

3) Déterminer l'équation du second degré en h, où h désigne la hauteur d'eau qui reste dans le réservoir au moment où l'eau cesse de s'écouler. Calculer h.

4) Quelle aurait dû être la cote y = y₀ du trou pour que la portée OP = Xp du jet d'eau initial soit maximale ?

Calculer cette portée maximale Xpmax et la vitesse d'éjection v0 correspondante.

IX :

1) La section en A, S_A, est très petite devant la section au niveau de la surface libre S_L.

Calculer la vitesse de l'eau en A.

2) Calculer la vitesse v_B de l'eau en B, sachant que la section en B est S_B.

3) Calculer la pression p_B au niveau B.

4) Au niveau B est percée sur le coté du tube une petite communication avec un volume C.

Calculer la pression p_C en C.

5) Application numérique : H = 0,2 m ; h = 2 cm ; S_A = 1 cm² ; S_B = 0,25 cm² ; g = 10 m.s^-2.

X : Une pompe P immergée dans un puits doit assurer un débit volumique de 7,2 m³.h^-1. On supposera qu'en A, entrée de la pompe, et en C , sortie de la tubulure de refoulement dans le bac, l'eau est à la pression atmosphérique P₀.

La tubulure de refoulement BC a une section constante S = 800 mm².

1°/ Calculer le débit massique de la pompe. On donne la masse volumique de l'eau : r = 10³ kg.m^-3

2°/ Déterminer la valeur de la vitesse d'écoulement V_B de l'eau en B dans la tubulure de refoulement.

3°/ Dans le cas d'un fluide parfait et incompressible et pour un écoulement permanent sans échange de travail, l'équation de Bernoulli s'écrit :

1/2.rV² + P + pgz = constante.

a) Quelle relation simple existe-t-il entre V_B et V_C ? Justifier.

b) Déterminer la différence de niveau entre les extrémités B et C de la tubulure de refoulement.

On donne : 
 g = 10 m.s^-2 
P₀ = 10⁵ Pa
P_B = 6.10⁵Pa 
r = 10³ kg.m^-3

XI :

Soit un château d'eau dont le schéma est ci-contre. L'évent et l'orifice sont ouverts.

H = 16 m ; S = 25 m² ; S0 = 10^-2 m².

1) Calculer par application du théorème de Bernoulli
- en supposant les pertes de charge nulles
- en négligeant v_z devant v₀
- en écrivant la conservation des débits.

 a) la vitesse v₀ du liquide à l'orifice.
b) La vitesse v_z de déplacement de la surface libre.
c) Le temps t de vidange du réservoir si le débit reste constant.
d) La pression p0 au niveau de l'orifice à l'intérieur du réservoir, en fonction de z. Comparez cette pression p₀ à celle calculée quand l'orifice est fermé.

2) Calcul de la durée théorique du vidage.
Pendant une durée très petite dt la hauteur du liquide dans le réservoir varie de dz.
2.a) Exprimer la variation de volume dv correspondante :
- en fonction de dz.
- en fonction de qv.
2.b) En déduire que 
 
2.c) Sachant qu'une primitive de  est , calculer, en utilisant l'équation précédente, la durée théorique du vidage.
2.d) Expliquer la différence entre les deux temps de vidage trouvés.

 

Correction des exercices 

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