exercices supplémentaires
I : Donner les résultats avec le bon nombre de chiffres significatifs :
Solution :
1,005 car on trouve 1,005211 10,009 car on trouve 10,008996
9,993 car on trouve 9,992995 1,5 car on trouve 1,463266
0,0144 car on trouve 0,0144155
II : Soit q la charge d'un condensateur de capacité C sous la tension U. On a la relation q = C.U. Si C = 1,6 pF et U = 10 kV, trouver q.
Solution :
q = 1,6.10-12´10.103 = 1,6.10-8 C
III : La puissance d'une centrale est de 1300 MW. La tension fournie est de 15 kV. Trouver l'intensité qui passe dans les fils.
Solution :
P = UI
Donc
I = P/U = 1300.106/15.103 = 8,7.104 A
IV : Le volume d'une boite est de 1 l. Sa hauteur est de 20 cm, sa longueur de 7 cm. Quelle est sa profondeur?
Solution :
V = H.L.p
p = V/HL
1 l = 1000 cm3 don p = 1000/20.7 = 7 cm
V : Une voiture de masse 1250 kg est animée d'une vitesse de 95 km.h-1 . Quelle est son énergie cinétique ?
Solution:
E =
(1/2)mv2
v = 95
km.h-1 = 95000/3600 m.s-1 = 950/36 m.s-1
E = 1250.(950/36)2/2 = 4,4.105 J
VI : Calculer les incertitudes relative et absolue sur le produit p = 20.50 et sur le quotient q = 20/50, dont chaque terme n'est connu qu'à une unité près.
Solution :
Dp/p = Dx/x + Dy/y = 1/20 + 1/50 = 0,07
Dp = 0,07.100 = 7
p = 100 ± 7
Même chose pour q : Dq/q = 0,07
Dq = 0,4.0,07 = 0,028 » 0,03
q = 0,40 ± 0,03
VII : Un mobile parcourt 10 ± 0,5 m en 1 ± 0,1 s. Calculer sa vitesse en m.s-1 puis en km.h-1, et donner chaque résultat sous la forme v = A ± a.
Solution :
v = 10 m/s ou v =
36 km/h
Dv/v = Dx/x + Dt/t = 0,5/10 + 0,1/1 = 0,15
Dv = 1,5 m/s = 5,4 km/h
v = 10 ± 2 m/s v = 36 ± 6 km/h
VIII : Soit un réservoir de 58 m de longueur, 22 m de largeur et de 4 m de hauteur. Quel est son volume en m3 ? Quel serait son volume s'il avait 1 cm de plus dans toutes ses dimensions?
Solution:
V = 58.22.4 = 5104 m3
V = 58,01.22,01.4,01 = 5119,968 m3
Donc le volume vaudrait 16 m3 de plus pour 0,01 m de plus dans toutes les dimensions, donc si on donne comme résultat 5100 m, la précision est largement suffisante.
IX : Un carton a une masse surfacique de 0,120 g.cm-2 . On en coupe un rectangle de longueur 20,0 cm et qui pèse 28,0 g. Quelle est sa largeur?
Sachant que l'erreur sur la mesure des longueurs est de 1 mm, celle sur la masse surfacique est de 0,001g.cm2 et celle sur les masses est de 0,5 g, quelles sont les incertitudes absolue et relative sur le calcul de la largeur?
Exprimer le résultat par un encadrement.
Solution
:
M = s.S = s.L.l
l = M/sL
l = 28/20.0,12 = 11,66667 cm
l = 11,7 car les
données ont trois chiffres significatifs.
Dl/l = DM/M + Ds/s
+ DL/L
= 0,5/28 + 0,001/0,12 + 0,1/20 = 0,01786 + 0,008333 + 0,005 = 0,0312 » 0,03
Dl = 0,0312.11,6667 = 0,364 »
0,4 cm
On voit donc que
c'est bien sur le troisième chiffre significatif que porte l'incertitude.
l = 11,7 ±
0,4 cm
X : Un cylindre mesure 10,05 cm de hauteur et 5,12 cm de rayon.
Quel est son volume ? Les mesures étant faites à 1/10 de millimètre près, calculer les incertitudes absolue et relative sur ce volume.
Exprimer le résultat par un encadrement.
Solution :
V = pR2.h = p.5,122.10,05 = 827,667 cm3
V = 828 cm3
DV/V
= 2DR/R
+ Dh/h
= 2.0,01/5,12 + 0,01/10,05 = 0,003906 + 0,000995 = 0,0049 » 0,005
DV = 0,0049.827,667 = 4,056 » 4 cm3
824 cm3 £ V £ 832 cm3
XI : On mesure 10 fois la même tension. On est sur le calibre 30 V, graduation à 100 divisions, classe des appareils 1,5. On trouve, en volts :
19,2 ; 19,3 ; 19,0; 19,4 ; 19,1 ; 19,1 ; 19,0 ; 19,1 ; 19,3 ; 17,2.
a) Trouver la moyenne des mesures, ainsi que l'écart type.
b) Quelle est l'erreur maximale faite sur les mesures?
Comparer-la à l'écart type.
c) Trouver l'intervalle de confiance, sachant que t = 2,31 pour un taux de confiance de 95 % et pour 9 mesures.
Solution :
Une mesure est fausse, on l'écarte.
V = 19,17 V ; s = 0,14 V ; (s = 0,13 V) ;
DV = classe.calibre/nombre de divisions de a graduation = 1,5.30/100 = 0,45 V
L'erreur maximale est plus grande que l'écart type.
ts/Ön
= 0,1078 = 0,11 V
19,17 -
0,11 V £
V £
19,17 + 0,11 V
XII : Soit un voltmètre comportant 100 divisions, de classe 1,5. On se place sur le calibre 5 V et l'aiguille se place entre les divisions 90 et 91.
a) Trouver la valeur de la tension mesurée.
b) Trouver l'erreur maximale qu'on peut faire sur la mesure.
Est-il important d'apprécier la demi-division? Trouver l'incertitude relative.
c) Trouver l'erreur maximale et l'incertitude relative si on avait choisi le calibre 20 V. Conclusion.
Solution :
U = 90,5*5/100 = 4,525 V
E = 1,5*5/100 = 0,075 V 1/2 division correspond à 0,025 alors que l'on peut faire, à cause de l'appareil une erreur de 0,075 V : on peut donc ne pas tenir compte de la 1/2 div.
DV/V = 0,075/4,525 = 0,017
c) E =
1,5.20/100 = 0,3 V
DV/V = 0,3/4,525 = 0,067
XIII : Soit un ampèremètre de classe 2, comportant 50 divisions. On se place sur le calibre 0,5 A. L'aiguille indique la division 18.
a) Quelle est l'intensité mesurée?
b) Quelle est l'erreur maximale que l'on peut faire sur une mesure?
XIV : La précision d'un multimètre numérique est définie par :
Dx = 0,1%.L + 3.UR
L est la valeur lue, UR est la précision de la lecture.
On mesure une résistance de 1531 W, trouver DR.
Solution :
On mesure 1531 W, donc UR = 1 W
DR
= 0,001.1531 + 3.1 = 4,5 W
XV : Pour mieux cerner la population votant pour un parti A, on extrait un échantillon de n personnes ayant l'intention de voter pour A. On suppose que l'âge des individus suit une loi normale de paramètre x et s.
a) n = 15, la moyenne d'âge est de 45 ans, l'écart type de 10 ans. Donner un intervalle de confiance pour x au niveau 99%.
b) Même question pour n = 100, moyenne de 47 ans, écart-type de 9 ans.
Solution :
a) t = 2,98 ; s/Ön = 10/Ö15 = 2,582 ; t.s/Ön = 7,69
Intervalle : 45 – 7,7 = 37,3 et 45 + 7,7 = 52,3
b) t = 2,63 ; s/Ön = 9/10 = 0,9 ; t.s/Ön = 2,4
Intervalle : 45 – 2,4 = 42,6 et 45 + 2,4 = 47,4
XVI : Les analyses d'échantillons de charbon lavé ont donné, en
teneur de cendre, les résultats suivants :
Teneur en % Nombre d'analyses
De 6 à 10 10
De 10 à 12 16
De 12 à 14 62 a) Calculer la moyenne.
De 14 à 15 47
De 15 à 16 73 b) Calculer l'écart type.
De 16 à 17 45
De 17 à 18 32
De 18 à 20 40
De 20 à 22 25
De 22 à 26 20
Solution :
a)
avec
, pour xi on prendre les valeurs médianes (8 pour la première
teneur).
m = 5942,5/370 = 16,06 %
b) Variance pour un regroupement en classe :
s2 = 99510,25/370 – (16,06)2 = 11,024
Ecart type
s = (11,024)1/2 = 3,32
XVII : Sur 100 ouvriers, la moyenne des salaires horaires est de 47,85 F et l'écart type est de s = 13 F. Dans quelle tranche de salaire a-t-on 95% de chances de se trouver ?
Solution :
t = 1,98
s/Ön = 13/Ö100 = 1,3
Tranche : 47,85 – 1,98´1.3 = 47,85 – 2,57 = 45,28 et 47,85 +2,57 = 50,42
XVIII : Dimension et unité de h, la constante de Planck, qui entre dans la formule E = h.N, E est l'énergie du rayonnement dont la fréquence est N.
Solution
:
h = E/N
E = F.x
= ML2T-2
[h] = ML2T-2/T-1
= ML2T-1
unité
: kg.m2.s-1
XIX : Dimension
et unité de la constante de torsion C d'un fil d'un pendule de torsion de
moment d'inertie J = md2
(m : masse ; d : distance) et de période
solution :
C = 4J/T = ML .T
4 est un coefficient numérique, donc sans dimension.