propagation de la chaleur

Exo cours TSTP 88

Convection intérieure : F = h_i.S(T_A – T_AP)

Conduction dans le béton :

Convection intérieure : F = h_e.S(T_BP – T_B)

1) Les résistances thermiques sont :

Pour la convection interne : r_i = 0,11 m².K.W^-1

Pour la convection externe : r_e = 0,06 m².K.W^-1

Pour la conduction : = 0,091 m².K.W^-1

 2) Le flux par mètre carré de surface vaudra :

j = K.(T_A – T_B)

avec K, le coefficient global de transmission. Son inverse est égal à la somme des résistances thermiques :

1/K = r_i + r_e + R = 0,261        d'où     K = 3,83 W^-2.m.K^-1

On a donc :

j = 49,8 W.m^-2

 3) On a :

j.S = h_iS(T_A – T_AP) = S(T_A – T_AP)/r_i

d'où :

T_AP = T_A – R_i.j

T_AP = 18 - 0,11.49,8

T_AP = 12,5 °C

De la même façon :

T_BP = T_B + R_e.j

T = 8 °C

I : j = h_i(T_i – T_iP) = (l/e)(T_iP – T_eP) = h_e(T_eP – T_e) = (T_i – T_e)/R

Avec R = 1/h_i + e/l = 1/h_e = 0,11 + 0,15/1,74 + 0,06 = 0,2562 m².K.W^-1

De la dernière égalité :

j = 15/0,2562

j = 58,546 W.m^-2

De la première égalité :

T_iP = T_i - j/h_i = T_i - j.R_i = 20 – 58,546*0,11

T_iP = 13,6 °C

De la même façon :

T_eP = T_e + j/h_e = T_e + j.R_e = 5 + 58,546*0,06

T_iP = 8,5 °C

Il y a aussi une solution graphique.

II : Pour les murs :

S_mur = S_total – S_vitre = 2(10*3 + 5*3) – 8 = 82 m²

Résistance globale :

R_m = 1/K_m = (1/S_mur)(1/h_e + e_b/l_b + R_air + e_br/l_br + 1/h_i)

R_m = (1/82)(0,17 + 0,5/1,74 + 0,15 + 0,04/0,2) = 7,392768.10^-3 K.W^-1

K_m = 135 W.K^-1

Pour le plafond :

Résistance globale :

R_p = 1/K_p = (1/S_p)(1/h_e + e_b/l_b + e_poly/l_poly + 1/h_i)

R_p = (1/50)(0,17 + 0,1/1,74 + 0,05/0,036) = 0,032327 K.W^-1

K_p = 30,9 W.K^-1

Pour les vitres :

Résistance globale :

R_v = 1/K_v = (1/S)(1/h_e + e_v/l_v + R_air)

R_v = (1/8)(0,17 + 0,008/1,15 + 0,48) = 0,0821195 K.W^-1

K_m = 12,2 W.K^-1

b) j_m = K_m(T_i – T_e) = 135*23 = 3105 W

Comme j = h_iS(T_i – T_ip)

T_ip = T_i - j/h_iS = 18 – 3105*0,11/82

T_ip = 13,8 °C

De la même façon :

T_iv = T_i - j/h_iS_v = 18 – 12,177*23*0,11/8

T_iv = 14,1 °C

T_ip = T_i - j/h_iS_p = 18 – 30,93*23*0,11/50

T_iv = 16,4 °C

c) j_T = (135 + 30,93 + 12,177)23 = 4096 W

C’est la puissance minimale de la source de chaleur.

III : R_pla = e/l = 0,01/0,7 = 0,0143 K.W^-1                      Rcim = 0,0130 K.W^-1

R_pol = 1,389 K.W^-1                                                     R’_pol = 1,389 K.W^-1

R_bet = 0,143 K.W^-1                                                     R_bet = 0,143 K.W^-1

R_i = 1/h_i = 0,11 K.W^-1                                                 R_i = 1/h_i = 0,11 K.W^-1

R_e = 1/h_e = 0,06 K.W^-1                                                              Re = 1/h_e = 0,06 K.W^-1

R_T = 1,716 K.W^-1                                                       R_T = 1,715 K.W^-1

K = 0,583 W.K^-1                                                         K’ = 0,583 K.W^-1

b) Isolation intérieure :

j = K(T_i – T_e) = 0,607*25 = 14,575 W.m^-2            j = 14,575 W.m^-2

intérieur/plâtre :                                                 

j = h_i(T_i – T_ip)

T_ip = T_i - j/h_i = 20 – 14,575*0,11

T_ip = 18,4 °C                                                                        T_ib = °C

Plâtre/polystyrène :

polystyrène /béton :

béton extérieur : T_eb= - 4,16°C  

 Isolation extérieure :

j = K(T_i – T_e) = 0,583*25

j=14,575 W.m^-2

intérieur/béton :

j = h_i(T_i – T_ib)

T_ib = T_i - j/h_i = 20 – 14,575*0,11

T_ib = 18,4 °C

Béton /polystyrène       T_b/poly = 16,3°C

Polystyrène/ciment       T_poly/cim= - 3,9°C

Ciment extérieur            T_cim= - 4,1 °C

c) Du point de vue thermique, les deux solutions sont équivalentes.

L'isolation extérieure est meilleure pour le volant thermique (le béton se comporte comme un réservoir de chaleur).

L'isolation extérieure est meilleure contre la condensation dans le béton, car ce dernier sera moins soumis à des écarts de température importants.

IV TP 96 :

1.1) R = R_be + R_poly + R_br = e₁/l₁ + e₂/l₂ + e₃/l₃ = 15.10^-2/0,23 + 5.10^-2/0,035 + 5.10^-2/0,47

R = 2,187 K.W^-1.m²

1.2) j = (q_i – q_e)/R

j = 15,088 W.m^-2

1.3) Q = j.t = 15,088*24*3600

Q = 1,304.10⁶ J.m^-2

Pour 10 m² de mur :

Q’ = 10Q

Q’ = 13,04.10⁶ J.m²

1.4) j = (q₁ - q_e).l₁/e₁

q₁ = q_e + e₁.j/l₁ = - 8 +9,84*

q₁ = 1,84 °C

De la même façon :

j = (q_i - q₂).l₃/e₃

q₂ = q_i – e₃.j/l₃ = 25 – 15,088.5.10^-2/0,47

q₂ = 23,39 °C

2.1) Tranferts thermiques intérieur et extérieur par convection.

2.2) j = h_e(q_e - q_ae)

q_ae = q_e - j/h_e = - 8 – 15,088*0,06

q_ae = - 8,9 °C

j = h_i(q_ai - q_i)

q_ai = q₁ + j/h_i = 25 + 15,088*0,11

q_ae = 26,7 °C

V : 1) Conduction : dans une tige de fer.

Convection : chauffage d'un liquide ou d'un gaz.

Rayonnement : chauffage solaire.

2) F = Dq/R                R = Dq/F            R en K.W^-1

3a) r = e₁/l₁                r = 0,5/1,2 = 0,417 m².K.W^-1

3b) F = S.Dq/r            avec S = 2(L + l)h = 300 m²

F = 8,64 kW

3c) Puissance du chauffage = puissance perdue thermiquement, c'est-à-dire le flux thermique. Ona la même égalité pour les énergies.

E = P.t = F.t = 8,64.120.24

E = 2,49.10⁴kWh

Prix = 12400 F

4a) r = e₁/l₁ + e₂/l₂ + e₃/l₃ + e₄/l₄ = 0,5/1,2 + 10^-2/1,1 + 5.10^-2/0,041 + 10^-2/0,35

r = 1,7 m².K.W^-1

4b) r est passé de 0,417 m².K.W^-1 à 1,7 m².K.W^-1, donc à une valeur 4,08 fois plus grande, donc le coût est 4,08 fois plus petit, c'est-à-dire 3040 F.

On a donc économisé 9400 F.

VI : 1) R = R_a + R_lv + R_br + R_bf + 1/h_i + 1/h_e

R_T = 1,36 m².K.W^-1

2) j = (q_I - q_e)/R

j = 779 W.m^-2

3) j = h_i(q_i - q_si)            q_si = q_i - j/h_i = 1064 °C

j = l₁(q_si - q₁)/e₁            q₁ = q_si - j.e₁/l₁ = 892 °C

j = l₂(q₁ - q₂)/e₂            q₂ = q₁ - j.e₂/l₂ = 725 °C

j = l₃(q₂ - q₃)/e₃            q₃ = q₂ - j.e₃/l₃ = 169 °C

j = h_e(q_se - q_e)                    q_se = q_e + j/h_e = 168 °C

4) Puissance = F = j.S = 6,23 kW

5) E = P.t = 149,6 kWh

coût = 120 F

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