h – h' = 9,26 cmhydrostatique
I
: Pression
Surface
des 3 faces : S1 = 1´0,8
= 0,8 m2 ; S2 = 1´0,5
= 0,5 m2 ; S3 = 0,5´0,8
= 0,4 m2
P
= F/S avec F = P = mg = rVg
= 7800´1´0,8´0,5´9,8
= 3,0576.104 N
P1
= 3,0576.104/0,8 = 3,82.104 Pa P2 = 3,0576.104/0,5 =
6,12.104 Pa P3
= 3,0576.104/0,4 = 7,64.104 Pa
II : Correspondances :
1 atm = 760 mm de
Hg = 101325 Pa
1
bar = 105 Pa = 0,9869 atm
45.106
Pa = 450 bar = 450000 mbar = 4,5.105 hPa.
45.106
Pa = 45.106/101325 = 4,4412.102 atm
45.106
Pa = 45.106´76/101325
= 3,3753.104 cm de Hg
1,9 bar
= 1,9.105 Pa = 1,875 atm = 1,425.102 cm de Hg
III
: tube en U
Les points M et N sont à la même pression car ils sont dans le même liquide (mercure) et dans le même plan horizontal.
PM = P0 + Peau = P0 + rgh
PN = PHg + P0 = r'gh' + P0
d'où :
rgh = r'gh'
rh
= r'h'
h'
= rh/r'
h' = 10´1/13,6
h' = 0,735 cm
h –h' = 20/2 –
0,735
h – h' = 9,26 cm
2) Les points M et
N seront donc au même niveau : au dessus de M, il y aura une hauteur h d'eau,
et au-dessus de N une hauteur h" d'alcool. On aura :
rgh
= r"gh"
h" = rh/r"
h" = 10´1/0,8
h"
= 12,5 cm
Le volume versé sera :
V = h"´S = 12,5´2
V = 25 cm3
IV
:
La
force F2 crée une surpression P qui se transmet dans tous le
liquide. On a donc :
P = F2/S2
P = F1/S1
d'où :
F1
= F2´S1/S2
F1=
200´90/10
F1 = 1800 N
V : Pression dans deux récipients.
Pour les pression, on a les mêmes valeurs dans les deux récipients, car la pression ne dépend que de la hauteur de liquide.
En 1 : P1 = P0 = 105 Pa
En 2 : P2 = rgh1
+ P0
P2 = 800´0,5´10 + 105 Pa
P2 = 1,04 105 Pa
En 3 : P3 = rg(h1
+ h2) + P0
P2 = 800´0,8´10 + 105 Pa
P2 = 1,064 105 Pa
b) La pression atmosphérique n'intervient pas :
P1' = 0 Pa
P2' = 4000 Pa
P3' = 6400 Pa
c) Les forces sont perpendiculaires aux surfaces des récipients et dirigées vers l'extérieur.
F = P3'´S = 6400´p(200.10-3)2/4 = 201 N
VI : Poussée sur un barrage.
F = rglH2/2 = 1000*9,8*120*502/2
F = 1,47.109 N
d = (2/3)H = (2/3)50
d = 33 m
VII
: Pression d'une hauteur d'eau.
P = rgh
h = p/rg
= 1,013.5/1000´9,81
= 10,3 m
p1 = 1,013.105/103 = 98,35 Pa
VIII : Archimède
Poussée d'Archimède = poids du volume d'eau déplacée= (7465 – 6998)´g = 467´g
Masse de l'eau déplacée = 467 g
Volume de l'eau déplacée = m./r = 467 cm3 = volume de la couronne
Masse volumique de la couronne : r = m/V = 7465/467 = 15,9 g.cm-3
Elle est plus petite que celle de l'or : elle n'est pas en or pur.
Masse m de la couronne = masse m1 de l'or + masse m2 d'argent.
m = v1.r1 + v2.r2
Volume v de la couronne = volume v1 de l'or + volume v2 de l'argent
v = v1 + v2
v2= v – v1
m = v1.r1 + (v – v1).r2 = v1.r1 – v1.r2 + v.r2 = v1(r1 - r2) + v.r2
v1 = (m – v.r2)/(r1 - r2)
v1 = (7465 – 467.10,5)/(19,3 – 10,5) = 2561,5/8,8 = 291 cm3
m1 = 291´19,6 = 5618 g
v1= 291 cm3 m1 = 5618 g
v2 = v – v1 = 467 – 291 = 176 cm3
m2 = m – m1= 7465 – 5618 = 1847 g
v2= 176 cm3 m2 = 1847 g
IX : Glaçon.
Quand un solide flotte c'est que Poussée = poids
Poussée = poids du volume d'eau déplacée = reau.V.g
le volume V de l'eau déplacée est égal au volume immergé.
Poids du glaçon = m.g = rg.Vg.g
reau.V.g = rg.Vg.g
V = rg.Vg/reau
V = 0,92.500/1 = 460 cm3
V = 460 cm3
Pourcentage = 460.100/500 = 92 %
I
: aire : S =
6 m2.
F
= P.S = 50*6
F = 300 N
En un point du liquide, la pression P vaut : P = P0 + Peau + Ppiston
Peau
= h'rg
= 1´1000´10
= 104 Pa = 0,1.105 Pa
Ppiston
= F/S = mg/S = 2´10/10-4
= 2.105 Pa
P = 105 + 0,1.105 +2,1.105 = 3,1.105 Pa
P = 3,1.105 Pa
Pression effective
: comme de l'autre coté du fond s'exerce la pression atmosphérique, on a :
Peff
= Peau + Ppiston = hrg
+ mg/S = 2´1000´10
+ 2.105
Peff
= 2,2.105 Pa
F
= Peff.S = 2,2.105´10-4
F
= 22 N
III
: Les points M et N sont à la même pression car
ils sont dans le même liquide (mercure) et dans le même plan
horizontal.
PM = P0 + Peau = P0 + rgh
PN = PHg + Palcool + P0 = r"gh" + r'gh' + P0
d'où :
rgh
= r"gh"
+ r'gh'
rh
= r"h"
+ r'h'
(1)
h = h' + h"
h' = h – h"
(2)
Portons cette
valeur dans (&) :
rh
= r"h"
+ r'(h
– h")
rh
= r"h"
+ r'h
– r'h"
h(r - r')
= h"(r"
- r')
h
= h"(r"
- r')/(r
- r')
Application numérique :
h = 0,5(13,6 – 0,8)/(1 – 0,8) = 0,5´12,8/0,2
h
= 32 cm
de (2) :
h' = 32 –0,5
h'
= 31,5 cm
IV : Pour que la plaque reste collée, il faut que la somme des forces appliquées vers le haut soit plus grande que la somme de celles appliquées vers le bas. A la limite, il faut qu'elles soient égales.
Forces vers le haut : force due à la pression atmosphérique + force due à la profondeur d'immersion h
Forces vers le bas : force due à la pression atmosphérique + poids de la plaque.
mg
= rgh´S
h
= m/rS
h = 30.10-3/103´10-3 = 3.10-2 m
h = 3 cm
V : Manomètre
:
a) h1r1g
+ p = h2r2g
+ p
h1r1
= h2r2
b)
h'1 = h1 - DH
+ Dh
h'2
= h2 + DH
+ Dh
Comme S.DH = s.Dh
DH = Dh.s/S
h'1 = h1
- Dh.s/S + Dh
h'1 = h1
+ Dh(1
– s/S)
De la même façon,
on trouve :
h'2
= h2 + Dh(1
+ s/S)
On
a ici :
h'1r1g
+ p + Dp
= h'2r2g
[h1
+ Dh(1
– s/S)]r1g
+ Dp
= [h2 + Dh(1
+ s/S)]r2g
Comme
h1r1g
= h2r2g
il nous reste :
Dh(1
– s/S)r1g + Dp
= Dh(1 + s/S)r2g
Dp = Dh(1 + s/S)r2g - Dh(1 – s/S)r1g
Dp
= Dh.g[(1
+ s/S)r2
- (1 – s/S)r1]
Dh = Dp/g[(1 + s/S)r2 - Dh(1 – s/S)r1]
Dh = Dp/g(1,01.r1 – 0,99.r2)
Dh = 10/10(1,01.1022 – 0,99.998)
Dh = 2,26 cm
c) 10 Pa correspondent à 2,26 cm
x Pa correspond à 0,1 cm.
ce qui fait :
x = 10´0,1/2,26
x= 0,44 Pa
VI : Presse hydraulique :
Théorème de Pascal : toute variation de pression en un point d'un liquide entraîne la même variation en tous ses points.
Voir cours paragraphe VI.
Si on entre une petite force, on récupère une grande force. La force d'entrée est exercée du coté du petit piston.
Les deux volumes déplacés dans les deux récipients sont égaux :
h.s
= H.S ou S/s = h/H
Si
F/f = 100 = S/s = h/H
h = 100 H
Si
H = 1 cm, h = 100 cm
VII : En 1, en amont : P0 en aval : P0 P1eff = 0
En 2 : en amont : P0 + (z2 – z1)rg en aval : P0 P2eff = (z2 – z1)rg = 3,5´1000´10 = 3,5.104 Pa
En 3 : en amont : P0 + z2rg en aval : P0 + z1g P3eff = (z2 – z1)rg = 3,5.104 Pa
Pour la poussée :
3) Sur une bande horizontale de longueur l (longueur de la vanne) et de hauteur dz, située à une côte z, il s'exerce une force d'intensité dF qui vaut :
df = Peff.dS
Entre le point 1 et le point 2, la
pression augmente petit à petit de 0 à 3,5.104 Pa. On
a :
df
= (z2 – z)rgldz
f1 = 1000´10´1,5´3,52/2
f1 = 9,19.104 N
Entre le point 2 et le point 3, la pression reste constante, on a :
f2 = P2eff.S = P2eff.l.z1
f2 = 3,5.104´1,5´1,5
f2 = 7,88.104 N
La poussée sur toute la vanne vaut donc :
F
= f1 +f2
F
= 1,71.105N
Le centre de poussée pour la partie entre les points 1 et 2 est situé à une profondeur :
d1
= (2/3)(z2 – z1) = 2´3,5/3
d1 = 2,33 m
Le centre de poussée pour la partie entre les points 2 et 3 est situé à une profondeur :
d1
= z1/2 = 1,5/2
d1
= 0,75 m
Pour trouver la profondeur d du centre de poussée sur toute la vanne :
Moment de F = Moment de f1 + Moment de f2
F´d = f1´d1 + f2´d2
d = (f1´d1 + f2´d2)/F
d = (9,19.104´2,33 + 7,88.104´0,75)/1,71.105 = (2,14 +0,59)/1,71
d = 1,6 m
VIII : Résultante des forces de pression sur le fond = pression effective sur le fond*surface du fond.
pf
= r(h1
+ h2)g
Ff
= r(h1
+ h2)g´BC´CH
Ff = 1000*4,5*10*4*2,5
Ff = 4,5.105 N
Résultante des forces de pression sur le hautADFG = pression effective sur le haut*surface du fond.
Fh
= rgh1´AD´FD
Fh = 1000´10´3´4´2,5
Fh= 3.105 N
Résultante des forces de pression sur une face latérale = pression effective au centre de gravité de la face *surface de cette paroi.
pl = r(h1 + h2/2)g = 1000´3,75´10 = 3,75.104 Pa
Sur ABCD ou GHIF:
F1
= pl*AB*BC = 3,75.104*1,5*4
F1 = 2,25.105Pa
Sur ABGI ou DCHF :
F2
= pl*AB*CH = 3,75.104*1,5*2,5
F2 = 1,41.105 Pa
IX : Débourbeur.
1) Hauteur d’eau : he = 110.10-3/0,32 = 0,34375 m
Hauteur d’hydrocarbures : hh = 1,5.10-3/0,32 = 4,7.10-3 = 0,0047 m
Volume de la boue : VB = 160 – 111,5 = 48,5 L
Hauteur de boue : hb = 48,5.10-3/0,32 = 0,1515 m
Pression P sur le fond :
P = (re.he + re.dh.hh + re.db.hb)g = (1000*0,34375 + 1000*0,85*0,0047 + 1000*1,8*0,15469)10
P =
(343,75 + 2,73 + 278,44)10 = 6250 N
P
= 6205 N
2) Masse volumique du mélange : rm = m/Vt = (me + mh)/(Ve + Vh)
rm = (re.Ve + rh.Vh)/(Ve + Vh)
On a donc pour la densité d du mélange : d = (de.Ve + dh.Vh)/(Ve + Vh)
d = (1.110 + 0,85.1,5)/111,5 = 0,998
d = 0,998
3) Les points B et C sont à la même pression car ils sont dans le même liquide (mélange) et dans le même plan horizontal.
Pression due aux hydrocarbures purs en B : p = rh.hB.g
Pression due à l'eau en C : p = re.hc.g
re.hc = rh.hB
hB = de.hc/dh = 1.0,36/0,85
hB = 0,423 m
4) poussée pA d’Archimède sur le flotteur = son poids Pf
pA
= rh.(4pR3/6)g
Pf
= mg
R3 = 6m/4prh = 2,8.10-5
R = 3,04.10-2 m
R = 3 cm
X : Citerne à fioul.
1) La citerne étant immergée, elle subit la poussée d’Archimède et donc elle pourrait se mettre à flotter.
2-a) Volume de la partie centrale cylindrique : V1 = pR2.(L – 2R) = p.0,632.(2,05 – 1,26)
V1 = 0,985 m3
Volume des deux extrémités hémisphériques : V2 = (4/3)pR3 = (4/3)p0,633
V2= 1,047 m3
Volume extérieur de la citerne :
V = 2,032 m3
2-b) Poussée d’Archimède = poids du volume d’eau déplacée
P = reau.V.g = 1000.2,032.10
P = 2,032.104 N
2-c) Poids de la citerne à moitié pleine :
PC
= (mC +mf)g = (150 + 1.840)10
PC = 9,9.103 N
Résultante des forces qui s’exercent sur la citerne F’ = P - PC
C’est une force vers le haut.
F’ = 1,042.104 N
Un point d’ancrage supporte donc la force :
F
= F’/4
F
= 2,6.103 N
XI : Immersion d'un caisson.
1) Surface totale de la face d'entrée S = 7,5*10 = 75 m2
Surface de la cavité : s = 6,5*9 = 58,5 m2
Surface du béton de la face d'entrée DS = S – s = 16,5 m2.
Volume total du béton constituant un caisson V = l.DS = 16,5*32 = 528 m3
Masse d'un caisson M = rb*V = 2500*528
M = 1,32.106 kg = 1320 t
2) Le poids total du caisson vaut :
m. = 1320 + 2*90 = 1500 t
S'il flotte, c'est que son poids est plus petit que la poussée d'Archimède qu'il reçoit quand il est totalement immergé.
Son poids est égal à :
P = 1500.103.10 = 1,5.107 N
La poussée d'Archimède quand il est tota1ement immergée est égale au poids du volume total d'eau déplacée :
p = re.V.g = re.L.h.l.g = 103*7,5.32.10.10
p = 2,4.107 N
Il flottera donc puisque p>P.
La poussée qu'il reçoit, quand il flotte, sera éga1 à son poids.
Si h' est la. hauteur immergée, on aura :
re.L.h'.l = P
h' = P/(re.L.l)
h' = 1,5.107/103.32.10
h' = 4,7 m
La hauteur émergée h" vaudra donc: :
h" = h - h.
h" = 2,8 m
F1
= H.re.g;S
F1
= l0.l03.l0.10.32
F1 = 3,2.107 N
Sur un coté vertical, la force sera égale à la pression au centre de gravité multipliée par la surface :
F2 = re.g.(H + h/2 ).L.h
F2
= l03.l0.(l0 + 7,5/2).32.7,5
F2 = 3,3.l07 N
Pour la face inférieure, si elle baigne dans l'eau :
F3 = (H + h).re.g.S = 17,5.103.10.10.32
F3 = 5,6.l07 N
Ce n'est pas la véritable solution car F3 e st dirigée vers le haut et F1 est dirigée vers le bas (les forces sur les cotés s'annulent), la résultante est une force dirigée vers le haut et valant :
F3 – F1 = 2,4.107 N : c'est la poussée d'Archimède et l e caisson flotterait puisqu'elle est plus grande que le poids du caisson.
Donc la face inférieure repose sur le sol et n'est pas baignée par le liquide. La. force pressante qu'elle subit est donc la réaction du sol qui s'oppose aux deux forces, le poids du caisson et la force exercée par l'eau sur la face supérieure :
F3
= 3,2.l07 + 1,32.107
F3
= 4,52.107 N
XI : carburateur.
Sur le flotteur, la poussée d'Archimède p équilibre son poids P.
p = P
r.g.h.S = mg
h
= m/rS
h
= 15/(0,710.p.52/4)
h = 1,07 cm