hydrodynamique

hydrodynamique

I : Théorème de Bernoulli :

Ici z₂ = z₁, c₂ = q_v/S₂ et c₁ = q_v/S₁ et comme S₁ = 2S₂

q_v = 0,284 m³.s^-1

II : q_v = S.c

débit volumique = volume déplacé/temps = V/t d'où :

S.c = V.t

c = 10.10^-3/20´[p.(15.10^-3)²/4]

c = 2,8 m.s^-1.

III : a) Théorème de Bernoulli :

c₂ = 19,1 m.s^-1

b) q = S₁.c₁ = S₂.c₂

S₂ = q_v/c₂

d₂ » 2 cm

De la même façon :

d₁» 3,1 cm

IV : Théorème de Bernoulli, le point 1 étant à la surface de l'eau du ,puits et le point 2 à l'entrée de la pompe :

On a c₁ négligeable et z₂ – z₁ = H

H = 6 – 0,45

H = 5,55 m

V : a) Comme p₂ – p₁ = 0 et c₁ négligeable devant c₂, le théorème de Bernoulli s'écrit :

c₂ = 92,7 m.s^-1

b)q_v = S₂.c₂ = (pd²/4).c₂

q_v = 0,182 m^-3.s^-1

VI : a) Théorème de Bernoulli généralisé :

Comme p₁ = p₅ et que c₁ et c₅ sont très petits,

W = g(z₅ – z₁)

W = - 10´350

W = - 3500 J

b) P = - W.q_m

P = - W.q_v.r

P = 3500´1´1000

P = 3,5.10⁶ W

c) W_turb = - W

W_turb = 3500 J

VII : Comme la vitesse de descente c₁ de la surface dans la réservoir est négligeable, et que z₂ – z₁ est nulle, le théorème de Bernoulli s'écrit :

c₂ = 46 m.s^-1

q_m = r.S.c₂

q_m = r.(p.d²/4).c₂

q_m= 860.p.(6.10^-3)².45,75/4

q_m= 1,1 kg.s^-1

VIII : 1) Point 1 : surface de l'eau, point 2 : l'orifice. Comme la vitesse de descente c₁ de la surface dans le réservoir est négligeable, le théorème de Bernoulli s'écrit :

c₂ = 6,93 m.s^-1

2) Dans ce cas p₁ –p₂ = 0,05.10⁵ Pa

v₁ = 38^1/2

v₁ = 6,16 m.s^-1

3) On est dans le cas de l'hydrostatique :

p₁ + rg(h-y) = P₀

p₁V₁ = p₀.V₀

p₁.S(H –h) = p₀.S(H – h₀)

p₁ = 1,1.10⁵(2,5 –1,8)/(2,5 –h) = 7,7.10⁴/(2,5 – h)

7,7.10⁴/(2,5 – h) + 10⁴(h – y) = 10⁵

7,7/(2,5 – h) + (h – y) = 10

7,7 + (h – y)´(2,5 – h) = 10(2,5 – h) = 25 – 10h

- h² + 12,9.h – 16,3 = 0

h = (-12,9 ± Ö12,9² – 4.16,3)/-2

Une racine est impossible (11,5 m), l'autre vaut :

h = 1,45 m

4) En un point :

d²x/dt² = 0 dx/dt = v₀ x = v₀t

d²y/dt² = - g dy/dt = - gt y =- 1/2gt² + y₀

En c, point d'impact du jet sur le sol à la distance d :

y = 0 et donc

IX : 1) Théorème de Bernoulli, entre les points S à la surface libre du liquide et A à la sortie de la trompe :

Comme z_A – z_S = H, que c_S est négligeable devant c_A et que p_A = p_S = pression atmosphérique, il nous reste :

c_A = 2 m.s^-1

2) S_A.c_A= S_B.c_B

c_B = c_A.S_B/S_A

c_B = 2.1/0,25

c_B = 8 m.s^-1

3) Théorème de Bernoulli, entre les points BS et A à la sortie de la trombe :

p_B= 0,698.10⁵ Pa

4) p_C = p_B

p_C = 0,698.10⁵ Pa

X : 1) (1,5 pts)Débit massique = masse du fluide écoulé/durée

q_m = m/t

m = rv et q_v = v/t

avec v , volume du fluide écoulé.

d'où :

q_m = r.q_v

q_m = 10³´7,2

q_m = 7,2 kg/h = 2,0 kg/s

2) (1,5 pts) Si d est la distance parcourue par le fluide en régime d'écoulement permanent, pendant la durée t, à la vitesse V, on a :

d = V´t

V = d/t

Le volume écoulé est :

v = S´d

d = v/S

V = v/St = q_v/S

V = 7,2/3600.800.10^-6

V = 2,5 m/s

3) 3-a) La section de la tubulure étant constante, ainsi que le débit volumique, on a

V_B = V

3-b) L'équation de Bernoulli, en tenant compte du résultat du 3a s'écrit :

P_B +rgz_B = P_C +rgz_C

z_C - z_B = (P_B – P_C)/pg

z_C - z_B = (6.10⁵ – 1.10⁵)/10³´10

z_C - z_B = 50 m

XI : a) Si 1 est à la surface libre, O à l'orifice, mais à l'extérieur du réservoir, on a P_i = P_0ext = pression atmosphérique ; v₁ négligeable. Le théorème de Bernoulli s'écrit alors :

(1/2)v₀² + g(z₀ - z) = 0

Comme z₀ - z = H

AN :

v₀ = 17,9 m.s^-1

b) Par la conservation des débits :

v₂.S = v₀.S₀

d'où :

v₂ = 7,16.10^-3 m.s^-1

c) Le débit volumique vaut :

q_v = v₀.S₀ = 17,9.10^-2 m³.s^-1

Le volume total est :

V = H.S = 16.25 = 400 m³